Sabtu, 26 September 2009

tugas pdm matika 2

I. . a. konvers : r → ( p ^ q )

Invers : ~ ( p ^ q ) ~ r

Kontraposisi : ~ r ~ ( p ^ q )

b. konvers :( q ^ r ) p

Invers : ~ p ~ (q ^ r )

Kontraposisi : ~ ( q ^ r )→~p

c. konvers :( q ^ ~r ) ~p

Invers : p ~ (q ^ ~ r )

Kontraposisi : ~ ( q ^ ~r )p

d. konvers : ( q ^ r ) ( p v ~ q )

Invers : ~ (p v ~q ) ~ (q ^ r )

Kontraposisi : ~ ( q ^ r ) → ~ ( p v ~ q )

e. konvers : ( ~ p v q ) ( ~ q ^ ~ r )

Invers : ~ ( ~ q ^ ~r ) ~ (~p v q )

Kontraposisi : ~ (~ p v q ) → ~( ~ q ^ ~r )

f. konvers : (p ^ r) (q v ~ r )

Invers : ~ (q v ~r ) ~ (p ^ r )

Kontraposisi : ~ ( p ^ r ) → ~( q v ~r )

II A . jika harga turun maka hasil produk meningkat (Konvers)

. jika hasil produk menurun maka harga naik ( Invers )

. jika harga naik maka hasil produk menurun ( Kontraposisi)

B. jika pengangguran meningkat maka lapangan pekerjaan tidak banyak (konvers)

. jika lapangan pekerjaan banyak maka pengagguran menurun ( Invres )

. jika pengangguran menurun maka lapangan pekerjaan banyak ( kontraposisi )

C .jika ABCD segi empat maka ABCD bujur sangkar ( konvers )

. jika ABCD bukan bujur sangkar maka ABCD bukan segi empat ( Invers )

.jika ABCD bukan segi empat maka ABCD bukan bujur sangkar ( kontraposisi)

D. jika x2> 100 maka x >10 ( Konvers )

. jika x ≤10 maka x2 ≤ 100 ( Invers )

. jika x2 ≤ 100 maka x ≤ 10 ( kontrapoasisi )

E. jika ( x = 4 v x = -4 ) mak a x2 - 16 = 0 ( konvers )

. jika x2 – 16 0 maka ( x 4 v x ≠ - 4 ) ( invers )

. jika ( x 4 v x ≠ - 4 ) maka x2 – 16 0 ( kontraposisi )

F . jika x merupakan sudut lancip maka sin x = 90 0 – cos x ( konvers )

. jika sin x 90 0 – cos x maka x bukan merupakan sudut lancip ( invers )

. jika x bukan merupakan sudut lancip maka sin x 90 0 – cos x ( kontraposisi )

G . jika x = 135 0 dan x = 315 0 maka tan x = -1 ( konvers )

. jika tan x -1 maka x 135 0 dan x 315 0 ( invers )

. jika x 135 0 dan x 315 0 maka tan x -1 ( kontraposisi )

Jumat, 25 September 2009

Selasa, 22 September 2009

#1. Pengertian Logika dan Kalimat Bermakna

Dapatkah anda membedakan kalimat berarti dan kalimat tidak berarti?
Berikan contoh masing-masing 2 kalimat.


Artikel Lengkap

Referensi

  1. Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

Logika matematika merupakan cabang penting dari matematika sehingga perlu diajarkan pada semua jenis sekolah lanjutan untuk memberikan dasar cara berfikir yang logis dan sistematis. Oleh karena itu obyek-obyek diluar semesta pem-bicaraan tidak perlu diperhatikan agar pembahasan masa-lah dapat terarah dan bisa menghindari kesalahpahaman dalam peninjauannya.

Dalam kehidupan sehari-hari dilakukan komunikasi menggunakan bahasa. Agar komunikasi dapat dimengerti digunakan logika sebagai kontrol. Dalam matematika, bahasa komunikasinya disebut kalimat matematika yaitu kalimat yang menggunakan lambang-lambang matematika. Kalimat dibedakan menjadi 2 yaitu:

Kalimat berarti
yaitu kalimat yang dari padanya dapat ditarik suatu pengertian yang masuk akal dan berarti dalam pikiran.

Contoh:
  1. Matahari terbit dari arah timur.
  2. Harimau binatang buas.
Kalimat tidak berarti
yaitu kalimat yang tidak bisa diterima akal.

Contoh:
  1. Nasi menyanyi tidur makan.
  2. 2 + 5 menyangi tidak pergi akan lagi.

Kalimat yang mempunyai arti dibedakan menjadi 2 yaitu: yaitu kalimat pernyataan dan kalimat bukan pernyataan.

Kalimat Pernyataan dan Bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka)

Kalimat Pernyataan
adalah suatu kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya yaitu bernilai benar atau bernilai salah, tetapi tidak dapat benar dan sekaligus salah. Kalimat pernyataan juga disebut dengan kalimat deklaratif, statemen, atau proposisi dan dilambangkan dengan satu huruf kecil.

Perhatikan kalimat kalimat-kalimat berikut ini:
Contoh:
  1. p: Semarang Ibukota Jawa Tengah. (benar)
  2. q: 4x + 6x = 12x. (Salah)
  3. r: Semua siswa SMK harus melaksanakan Praktek Kerja Industri (Prakerin). (Benar)
  4. s: Nilai dari 42 x 2-3 = 3. (Salah)
  5. t: 7 + 3 £ 10. (Benar)
Selain kalimat pernyataan di atas ada pula kalimat faktual yaitu kalimat yang nilai kebenarannya baru diketahui sesuai dengan keadaan saat itu.

Contah:
  1. Hari ini matahari bersinar terang.
  2. Besok ada orang yang mendapat hadiah dari Bank.
Kalimat bukan pernyataan
adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Yang termasuk dalam kalimat ini adalah kalimat terbuka, kalimat perintah, kalimat pertanyaan dan kalimat harapan.

Kalimat terbuka
adalah kalimat yang masih mengandung peubah (variabel), sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya. Peubah (variabel) merupakan suatu lambang yang dapat diganti-ganti nilainya, sedang konstanta adalah suatu bilangan tertentu atau suku yang tidak mengandung variabel.

Contoh:
  1. 6x – 4 = 14 (Kalimat terbuka)
  2. 3x + 4 <>
  3. Hapuslah papan tulis itu! (Kalimatperintah)
  4. Mengapa kamu tidak mengerjakan pekerjaan rumah? (Kalimat tannya)
  5. Mudah-mudahan semua siswa mendapat beasiswa dari Pemkot. (Kalimat harapan)

Sobat, untuk memahami konsep yang sesungguhnya sobat sudah menerima materi ini di bangku SMA, silahkan kerjakan beberapa naskah latihan berikut.

Tugas 1.
Buatlah 5 Contoh masing-masing kalimat dibawah ini:
  1. Kalimat pernyataan
  2. Kalimat terbuka
  3. Kalimat perintah
  4. Kalimat tanya
  5. Kalimat harapan
  6. Kalimat faktual.
Kemudian diskusikan dengan teman anda kalimat yang telah anda buat.

Tugas 2
Tentukanlah kalimat berikut ini merupakan pernyataan atau bukan, dan jika merupakan kalimat terbuka tentukanlah variabelnya!

  1. Semarang terletak di Jawa Tengah.
  2. Terdapat sebuah bilangan prima yang genap.
  3. 5x + 8x = 12x
  4. cos 2x = cos2x – sin2x.
  5. Semua siswa mengerjakan soal-soal latihan 1.
  6. Mudah-mudahan semua siswa kelas II naik kelas.
  7. 7x – 8 > 6 + 3x
  8. Mengapa kamu terlambat datang ke sekolah?
  9. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180o.
  10. Sisi segitiga siku-siku disebut hipotenusa.
  11. Presiden Indonesia seorang yang adil dan jujur.
  12. Guru saya seorang yang ramah, baik hati dan murah senyum.
  13. 4x + 2y = 10
  14. (x2 – x – 2) = 0
  15. Rumus Luas lingkaran adalah (phi.r^2)

#2. Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi

Saudara mahasiswa, pada materi ini, saudara akan memperoleh materi mengenai operasi dalam logika. Seharusnya ada empat operasi logika, namun untuk satu materi ini cukuplah dua dulu untuk kemudian dapat saudara lanjutkan pada materi berikutnya.

Referensi

  1. Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)
Pada pernyataan dapat dilakukan operasi. Jika operasi itu dikenakan pada satu pernyataan, maka operasinya disebut operasi uner, sedangkan bila dikenakan pada beberapa pernyataan disebut operasi biner.

Bentuk dari operasi logika matematika sebagai berikut

Ingkaran/Negasi.

Operasi ini merupakan operasi uner yang dilambangkan dengan tanda "~" .atau "¬". Ingkaran pernyataan p adalah ~p atau dibaca "tidak benar bahwa p" atau "non p" atau "negasi dari p".

Contoh (1)
p: Jakarta ibu kota negara R I.
~p: Tidak benar bahwa Jakarta ibu kota Negara RI.
~p: Jakarta bukan ibu kota negara R I.

Contoh (2)
q: 2 + 5 = 10.
~q: Tidak benar bahwa 2 + 5 = 10.
~q: 2 + 5 tidak sama dengan 10.

Contoh (3)
r: 2 > 5 .
~r: Tidak benar bahwa 2 > 5 .
~r: 2 < 5 .

Tabel Nilai kebenaran ingkaran:



atau



Catatan:
Jika pernyataan semula bernilai benar (B) maka ingkarannya bernilai salah (S) dan sebaliknya.


Konjungsi:

Operasi konjungsi merupakan operasi biner yang dilambangkan "" dan dibaca "dan". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan "p q" dibaca "p dan q".

Tabel nilai kebenaran konjungsi sebagai berikut:



atau



Catatan:

Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa konjungsi bernilai benar (B) jika kedua komponen penyusunnya bernilai benar(B), jika tidak demikian maka konjungsi bernilai salah (S).
Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut:



Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus hanya bisa terhubung jika saklar p maupun q tertutup.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:

  1. Jakarta ibu kota RI dan Tugu Muda terletak di kota Semarang.
  2. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang dan 6 + 4 = 11
  3. (sin x = 1+ cos2x) dan jumlah sudut dalam segitiga 360.
Penyelesaian:

(1) Kalimat bernilai benar karena kedua pernyataan penyusunnya bernilai benar.
(2) Kalimat bernilai salah karena salah satu pernyataan penyusunnya bernilai salah.
(3) Kalimat bernilai salah karena salah kedua pernyataan penyusunnya bernilai salah.

Disjungsi.

Operasi konjungsi merupakan operasi binar yang dilambangkan "V" dan dibaca "atau". Dari pernyataan p dan pernyataan q dapat disusun pernyataan" p V q" dibaca "p atau q".

Tabel nilai kebenaran disjungsi sebagai berikut:



atau



Catatan:
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa disjungsi bernilai salah (S) jika kedua komponen penyusunnya bernilai salah (S), jika tidak demikian maka disjungsi bernilai benar (B).

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar di bawah.



Dari gambar rangkaian tampak bahwa arus tidak bisa terhubung jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah.

Contoh:
Tentukan nilai kebenaran pernyataan yang berikut:

  1. Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 atau Megawati Wakil presiden RI yang ke4
  2. 3 + 4 = 5 atau 5 bukan bilangan prima.

Penyelesaian:

  1. Benar karena Gus Dur adalah presiden RI yang ke 4 bernilai benar.
  2. Salah karena kedua komponennya bernilai salah.
Disjungsi dibedakan menjadi dua macam yaitu disjungsi inklusif dan disjungsi eksklusif.

Disjungsi inklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah per-nyataan maka "p q" bernilai benar (B) jika p dan q keduanya bernilai benar, atau salah satu bernilai salah, sebaliknya "p q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai salah.

Contoh:
p: Pak Budi orang kaya.
q: Pak Budi rajin bekerja.
p q: Pak Budi orang kaya atau rajin bekerja.

Di sini mempunyai dua pengertian:
(1) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi tidak keduanya.
(2) Pak Budi orang kaya saja atau rajin bekerja saja tetapi mungkin juga keduanya.

Tabel nilai kebenaran disjungsi inklusif sebagai berikut:



atau




Disjungsi eksklusif
adalah jika p dan q merupakan dua buah pernyataan maka "p q" bernilai benar (B) jika salahsatu bernilai salah (S) atau salah satu bernilai (B), sebaliknya "p q" bernilai salah (S) jika keduanya bernilai benar (B) atau keduanya bernilai salah (S).

Contoh :
p : Joni naik pesawat terbang.
q : Joni naik kapal laut.
p q : Joni naik pesawat terbang atau kapal laut.

Dalam contoh tersebut, Joni hanya naik pesawat terbang saja atau kapal laut saja, dan tidak mungkin naik pesawat terbang dan sekaligus naik kapal laut.

Tabel nilai kebenaran disjungsi eksklusif sebagai berikut:



atau

#3. Implikasi dan Biimplikasi

Materi ketiga adalah berkaitan dengn implikasi dan biimplikasi. Masih sederhna, merupakan repetisi dari kegiatan pembelajaran di sekolah. Rasanya tidak sampai setengah jam, materi ini dikuasai dengan mudah. Permasalahan akan muncul pada saat saudara menentukan ingkaran dari operasi logika tersebut.

Referensi

  1. Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

Implikasi (kondisional)
adalah operasi penggabungan dua buah pernyataan yang menggunakan penghubung logika "jika … , maka … " yang lambangnya " ". atau " ".

Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis "p q" atau "p q" dan dibaca "jika p, maka q".

Pernyataan bersyarat p q juga dapat dibaca " p hanya jika q " atau " p adalah syarat cukup bagi q " atau " q adalah syarat perlu bagi p ".

Pada pernyataan p q
p disebut hipotesa, anteseden, atau sebab
q disebut konklusi/konsekuen/akibat.

Tabel nilai kebenaran Implikasi sebagai berikut:

p

q

p q

B

B

B

B

S

S

S

B

B

S

S

B

atau

P

q

pq

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1


Catatan :
Dari tabel di atas dapat dikatakan bahwa implikasi p q bernilai salah (S) jika anteseden bernilai benar (B) dan konskuen bernilai salah (S), jika tidak demikian maka p q bernilai benar(B).

Contoh 1:
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut yang disusun dari
p: Hari ini matahari bersinar terang (B)
q: Hari ini angin bertiup kencang (S).
  1. Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin bertiup kencang.
  2. Jika hari ini mata hari bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang
  3. Jika hari ini mata hari tidak bersinar terang maka angin bertiup kencang
  4. Jika hari ini matahari tidak bersinar terang maka angin tidak bertiup kencang.
Jawab:
  1. Pernyataan bernilai salah (S).
  2. Pernyataan bernilai benar (B) .
  3. Pernyataan bernilai benar (B)
  4. Pernyataan bernilai benar (B).


Biimplikasi (bikondisional)
adalah pernyataan majemuk yang menggunakan penghubung logika " … jika dan hanya jika … " dan diberi lambang " " atau " ".

Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis " p q " atau
"p q" dibaca "p jika dan hanya jika q " dan sering juga dibaca " p equivalen q " dimana p adalah syarat perlu dan cukup bagi q.

Tabel nilai kebenaran biimplikasi sebagai beriku
  1. p

    q

    p q

    B

    B

    B

    B

    S

    S

    S

    B

    S

    S

    S

    B

    atau

    p

    q

    pq

    1

    1

    1

    1

    0

    0

    0

    1

    0

    0

    0

    1



    Dari tabel di atas dapat disebutkan bahwa p q bernilai benar jika kedua komponen penyusunnya memiliki nilai kebenaran yang sama (benar semua atau salah semua).
    Contoh:

    Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk yang disusun berdasarkan pernyataan:
    p: 2 bilangan prima
    q: 2 + 6 = 12

    1. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
    2. 2 bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12
    3. 2 bukan bilangan prima jika dan hanya jika 2 + 6 = 12
    4. 2 bukan bilangan prime jika dan hanya jika 2 + 6 tidak sama dengan 12

    Penyelesaian:

    1. Tulis p: 2 bilangan prima
      q: 2 + 6 = 12.
      Jelas nilai kebenaran p adalah B dan nilai kebenaran q adalah S.
      Jadi nilai kebenaran p q adalah salah (S).
    2. Kalimat bernilai benar (B)
    3. Kalimat bernilai salah (S)
    4. Kalimat bernilai benar (B)

#4. Ingkaran dari Operasi Logika

Assalamu'alaikum wr.wb.

Materi berikutnya adalah Ingkaran dari operasi logika matematika. Mohon agar dapat diperhatikan. Materi ini sangat saudara perlukan dalam kaitannya dengan mata kuliah Analisis Real, kalkulus dan aljabar. Terutama pada saat pembuktiak reductio ad absordum. Silahkan saudara pahami sebentar untuk kemudian didiskusikan dengan rekan.

Referensi

  1. Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)


(1) Ingkaran dari Konjungsi.
Untuk menentukan ingkaran dari konjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:



Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:
  1. 10 adalah bilangan asli dan 10 habis dibagi 5.
  2. 3 adalah faktor dari 8 dan 3 adalah bilangan prima.
  3. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang dan Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
  4. Hari ini hujan dan air sungai meluap.
Penyelesaian:
  1. 10 tidak bilangan asli atau 10 tidak habis dibagi 5.
  2. 3 tidak faktor dari 8 atau 3 tidak bilangan prima.
  3. Gedung lawang sewu tidak terletak di kota Semarang atau Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.
  4. Hari ini tidak hujan atau air sungai tidak meluap.

(2) Ingkaran dari Disjungsi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari disjungsi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:



Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:
  1. 10 adalah bilangan asli atau 10 habis dibagi 5.
  2. 3 adalah faktor dari 8 atau 3 adalah bilangan prima.
  3. Gedung lawang sewu terletak di kota Semarang atau Pasar Johar siang hari ramai pengunjung.
  4. Hari ini hujan atau air sungai meluap.
Jawab:
  1. 10 tidak bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5.
  2. 3 tidak faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima.
  3. Gedung lawang sewu tidak terletak di kota Semarang dan Pasar Johar siang hari tidak ramai pengunjung.
  4. Hari ini tidak hujan dan air sungai tidak meluap.

(3) Ingkaran dari Implikasi.

Untuk menentukan ingkaran dari implikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:



Contoh:
Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:
  1. Jika 10 adalah bilangan asli maka 10 habis dibagi 5.
  2. Jika 3 adalah faktor dari 8 maka 3 adalah bilangan prima.
  3. Jika 4 + 6 > 10 maka harimau bintang buas.
  4. Jika hari ini hujan maka air sungai meluap.
Penyelesaian:
  1. 10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 .
  2. 3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima
  3. 4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas .
  4. Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap.

(4) Ingkaran dari Biimplikasi.
Demikian pula untuk menentukan ingkaran dari biimplikasi kita perhatikan tabel kebenaran berikut ini:




Dalam membuat tabel kebenaran yang perlu diperhatkan adalah semua proposisi yang dibutuhkan diusahakan dibuat:

Contoh:

Buatlah tabel kebenaran dari {(p ~r) q} (~q r)

Penyelesaian :



Contoh:

Tentukanlah ingkaran dari pernyataan berikut ini:
  1. 10 adalah bilangan asli jika dan hanya jika 10 habis dibagi 5.
  2. 3 adalah faktor dari 8 jika dan hanya jika 3 adalah bilangan prima.
  3. 4 + 6 > 10 jika dan hanya jika harimau binatang buas.
  4. Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai meluap.
Penyelesaian:

  1. Tulis:
    p: 10 adalah bilangan asli
    q: 10 tidak habis dibagi 5.
    Jelas ¬(p q) (p ¬q) (q ¬p).
    Jadi ¬(p q) 10 adalah bilangan asli dan 10 tidak habis dibagi 5 atau 10 habis dibagi r dan 10 bukan bilangan asli.
  2. 3 adalah faktor dari 8 dan 3 tidak bilangan prima atau 3 adalah bilangan prima dan 3 tidah faktor dari 8.
  3. 4 + 6 > 10 dan harimau tidak binatang buas atau harimau binatang buas dan 4 + 6 10.
  4. Hari ini hujan dan air sungai tidak meluap atau air sungai meluap dan hari ini tidak hujan.
Tugas 3.
Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut :
  1. Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180°
  2. Melalui dua buah titik dapat dibuat sebuah garis lurus.
  3. Dua garis sejajar tidak mungkin berpotongan. .
  4. 114 habis dibagi dengan 4.
  5. Sudut 91 derajat adalah sudut sudut tumpul.
  6. x bilangan negatif ditulis x <>

Tentukan nilai kebenaran dari pernyatakan berikut:

  1. 3 adalah factor dari 113 dan 2 bukan bilangan prima.
  2. Sin²x + cos²x = 1 dan Gedung lawang sewu terletak di Semarang.
  3. Tahun 2000 merupakan tahun kabisat atau Indonesia merupakan negara agraris.
  4. 7+ 8 = 15 atau 15 adalah bilangan prima.
  5. Jika Indonesia anggota PBB maka Indonesia anggota OPEC.
  6. Jika Jika 3 x 2 > 9 maka ²log 8 = 4.
  7. Jika 5 adalah factor dari 125 maka 20 habis dibagi 5.
  8. Bangun ABCD merupakan bujur sangkar jika dan hanya jika ABCD persegi.
  9. Akar-akar persamaan kuadrat mrupakan bilangan riil jika dan hanya jika Diskriminannya lebih besar nol.
  10. 5 bilangan genap jika dan hanya jika 52 = 30.
Jika p pernyataan yang bernilai benar dan q pernyataan yang bernilai salah, tentukanlah nilai kebenaran proposisi berikut ini:
(a) ~p q
(b) ~p ~q
(c) p ~q
(d) ~p ~q
(e) (p ~q) (~p q)
(f) (~p ~q) (~p ~q)
(g) (~p q) (~p ~q)
(h) (~p q) (~p ~q)
(i) (p ~q) V (~p ~q)
(j) ~(~p q) (p ~q)

Buatlah tabel kebenaran proposisi untuk pertanyaan soal berikut ini:

(a) (~p q) (p ~q)
(b) (~p q) (p ~q)
(c) (p q) (~p ~q)
(d) (p ~q) ( ~p r)
(e) (~p r) (q ~r)
(f) {(p ~r) q} {(~p ~q) r}

Jika nilai kebenaran suatu proposisi adalah benar semua maka disebut tautology sedang jika diperoleh nilai salah semua disebut kontradiksi.

Selidikilah dengan membuat tabel kebenaran terlebih dahulu proposisi berikut ini merupakan tautologi atau merupakan kontradiksi.

(a) p ( p q )
(b) ( p q ) ~( p q )
(c) ( p q ) p
(d) ~p ~( p q )
(e) q ( p q )
(f) {( p q ) p} q
(g) {( p q ) ~q} ~p
(h) {( p q ) ( q r )} ( p r )

Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut:

(a) Indonesia merupakan negara agraris dan maritim.
(b) Temanduduk saya anak yang pemalu atau pendiam.
(c) 2x + 4 = 12 atau 6 + 5 > 10
(d) cos2x = 1 – 2sin²x dan 5 + 6x 17
(e) Saya berangkat sekolah naik Bus kota dan harus membayar.
(f) x² – 2x – 8 = 0 atau x = 4 atau x = -2

Tentukan ingkaran dari pernyataan berikut:

(a) Jika sin²x + cos²x = 1, maka Jakarta ibukota RI
(b) Jika 2 + 4 = 6, maka 2 x 4 = 8
(c) Hari ini hujan jika dan hanya jika air sungai itu meluap
(d) Jika segiempat itu bujur sangkar, maka sisinya sama panjang dan sudut sudutnya 90°
(e) Segitiga ABC samakaki jika dan hanya jika sudut alasnya sama besar.
(f) Jika harga minyak naik maka harga semua barang naik
(g) Semua siswa naik kelas jika dan hanya jika semua siswa bergembira
(h) AC tegak lurus BD jika dan hanya jika ABCD layang-layang
(i) Jika petani menanam padi maka harga beras turun.
(j) Jika hujan turun maka air sungai meluap.

#5. Fungsi Predikat dan Kalimat Berkuantor

Assalamu'alaikum wr. wb.

Materi kelima adalah tentang fungsi predikat dan kalimat berkuantor. Memahami materi ini memang tidak begitu mudah, namun sungguh saya yakin, saudara telah pernah bertemu dengan makanan berikut ini. Nikmati saja ya.

Referensi

  1. GRIMALDI, R.P., "Discrete and Combinatorial Mathematics - An Applied Introduction", 2nd Edition, Addison Wesley Publishing Company, Massachusetts, 1989.
  2. JOHNSONBAUGH, R., "Matematika Diskrit", Edisi ke 4, Jilid I dan II, PT. Prenhallindo, Jakarta, 1998.
  3. ROSEN, K.H., "Discrete Mathematics and Its Application", 5th Edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 2003.
  4. TREMBLAY, J.P. AND MANOHAR,R., "Discrete Mathematical Structures with Apllications to Computer Science", McGraw-Hill Book Company, New York, 1988.


Definisi (Fungsi proposisi/Predikat)

Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.

CONTOH (1)
Berikut ini beberapa contoh fungsi proposisi:
  1. n² + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan bilangan bulat.
  2. x² – x – 6 = 0, dengan daerah asal himpunan bilangan real.
  3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 pada tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol.
Sebuah predikat seringkali menyatakan sebuah hubungan relasional antara: konstanta, variabel dan fungsi.

Simbol-simbol yang digunakan dalam logika predikat:
  1. Simbol konstanta : a, b, c, d.
  2. Simbol variabel : x, y, z, w.
  3. Simbol fungsi : f, g, h.
  4. Simbol predikat : P, Q, R, S.
CONTOH (2)
Beberapa contoh predikat:
  1. 2x+3 <>
  2. x + y x - y, dengan x dan y bilangan real dapat ditulis sebagai untuk setiap x,y anggota himpunan bilangan (real),
    Q(x, y) : f(x, y) g(x, y)
  3. jika x > 0 maka 4x + 1 > 1, dengan x bilangan bulat dapat ditulis sebagai beberapa x anggota himpunan biangan (bulat), jika R(x) : x > 0, maka S(x) : h(x) > 1
Predikat P(x) menyatakan hubungan relasional antara fungsi f(x) dan konstanta 5. Predikat Q(x; y) menyatakan hubungan relasional antara fungsi f(x; y) dengan fungsi g(x; y). Contoh ketiga memuat penghubung bersyarat "jika ... maka ... " dengan premis predikat R(x) dan konklusi predikat S(x).

Definisi (Kuantor)
Misalkan P(x) adalah fungsi proposisi dengan daerah asal D.
Pernyataan "untuk setiap x, P(x)" dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbolik ditulis sbb:

x; P(x)

Simbol "" disebut kuantor universal.

Pernyataan "untuk beberapa x, P(x)" dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbolik ditulis sbb:

x; P(x)

Simbol "" disebut kuantor eksistensial.

Pernyataan untuk setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x anggota D, maka P(x) bernilai benar. Pernyataan beberapa x, P(x) bernilai benar jika terdapat sekurang-kurangnya satu x anggota D sehingga P(x) bernilai benar. Jadi untuk mengevaluasi sebuah proposisi dalam bentuk simbolik dan memuat predikat, kita harus menetapkan daerah asal dari setiap variabelnya dan memberikan interpretasi terhadap fungsi dan predikat yang ada didalamnya.

CONTOH (3)
Tulislah proposisi berikut secara simbolik:

"Untuk setiap bilangan bulat positip yang habis dibagi dengan 6 juga habis dibagi dengan 3"

Jawaban:

Misalkan: Predikat "x habis dibagi dengan y" secara simbolik ditulis sebagai P(x,y). Maka predikat "x habis dibagi 6 juga habis dibagi 3" secara simbolik dapat ditulis sbb:
Jika P(x,6) maka P(x,3)
Jadi proposisi yang ditanyakan secara simbolik dapat ditulis sbb:
x, Jika P(x,6), maka P(x,3)
dengan daerah asal himpunan bilangan bulat positip.

CONTOH (4)
Evaluasilah apakah proposisi berikut benar atau salah:
x y, Q(x,y) dengan Q(x,y) mempunyai interpretasi 2x = y dan x, y mempunyai daerah asal himpunan bilangan ganjil.

Jawaban:
Proposisi tersebut dapat dikatakan sbb:
Untuk setiap bilangan ganjil x dapat ditemukan bilangan ganjil y sehingga 2x=y.
Karena untuk setiap x bilangan ganjil 2x bilangan genap, maka bilangan y adalah genap (dengan kata lain bilangan ganjil y tak pernah ditemukan).
Jadi proposisi yang ditanyakan bernilai salah.

Propositional Logic Terms and Symbols

Assalamu'alaikum wr.wb.

Berikut ini adalah article sederhana tentang proporsitional logic, by Peter Suber. cobalah untuk pahami, kemudian aplikasikan dalam permasalahan nyata. Selamat Belajar


Article by Peter Suber, Philosophy Department, Earlham College

A simple statement is one that does not contain any other statement as a part. We will use the lower-case letters, p, q, r, ..., as symbols for simple statements.


A compound statement is one with two or more simple statements as parts or what we will call components. A component of a compound is any whole statement that is part of a larger statement; components may themselves be compounds.


An operator (or connective) joins simple statements into compounds, and joins compounds into larger compounds. We will use the symbols, , · , , and to designate the sentential connectives. They are called sentential connectives because they join sentences (or what we are calling statements). The symbol, ~, is the only operator that is not a connective; it affects single statements only, and does not join statements into compounds.

The symbols for statements and for operators comprise our notation or symbolic language. Parentheses serve as punctuation.


Simple statements

p

"p is true"

assertion

~p

"p is false"

negation


Compounds and connectives

p q

"either p is true, or q is true, or both"

disjunction

p · q

"both p and q are true"

conjunction

p q

"if p is true, then q is true"

implication

p q

"p and q are either both true or both false"

equivalence

Implication statements (p q) are sometimes called conditionals, and equivalence statements (p q) are sometimes called biconditionals.


To indicate that a compound is to be taken as a whole or single statement, we put it in parentheses. For example, p q is a compound. Its negation is ~(p q). When the negation sign is outside the parentheses, it affects the entire compound, not just the first component, p. Its conjunction with the compound, q r, would be expressed, (p q)·(q r). If we wanted to say that the whole latter statement was false, we would write, ~[(p q)·(q r)]. If we wanted to say that either the whole latter statement was true, or that s t was true, we would write, ~[(p q)·(q r)] (s t). And so on.


The truth value of a statement is its truth or falsity. All meaningful statements have truth values, whether they are simple or compound, asserted or negated. That is, p is either true or false, ~p is either true or false, p q is either true or false, and so on.


A compound statement is truth-functional if its truth value as a whole can be figured out solely on the basis of the truth values of its parts or components. A connective is truth- functional if it makes only compounds that are truth-functional. For example, if we knew the truth values of p and of q, then we could figure out the truth value of the compound, p q. Therefore the compound, p q, is a truth-functional compound and disjunction is a truth-functional connective.

All four of the connectives we are studying (disjunction, conjunction, implication, and equivalence) are truth-functional. Negation is a truth-functional operator. With these four connectives and negation we can express all the truth-functional relations among statements. (Can you imagine how we would prove this?)


A truth table is a complete list of the possible truth values of a statement. We use "T" to mean "true", and "F" to mean "false" (though it may be clearer and quicker to use "1" and "0" respectively).

For example, p is either true or false. So its truth table has just 2 rows:

p

T

F

But the compound, p q, has 2 components, each of which can be true or false. So there are 4 possible combinations of truth values. The disjunction of p with q will be true as a compound whenever p is true, or q is true, or both:

p

q

p q

T

T

T

T

F

T

F

T

T

F

F

F

If a compound has n distinct simple components, then it will have 2n rows in its truth table.

The truth table columns that define the basic connectives are as follows:

p

q

~p

~q

p q

p · q

p q

p q

T

T

F

F

T

T

T

T

T

F

F

T

T

F

F

F

F

T

T

F

T

F

T

F

F

F

T

T

F

F

T

T


Most statements will have some combination of T's and F's in their truth table columns; they are called contingencies. Some statements will have nothing but T's; they are called tautologies. Others will have nothing but F's; they are called contradictions. Obviously these three types of propositions exhaust the possibilities for statements that have truth table columns --which means for all truth-functional statements.


In the conditional, p q, the first statement or "if- clause" (here p) is called the antecedent and the second statement or "then-clause" (here q) is called the consequent. Of course in more complicated conditionals, the antecedent and consequent could be compounds rather than (as here) simple statements.


Any argument can be expressed as a compound statement in the following way. Take all the premises, conjoin them, and make that conjunction the antecedent of a conditional; make the conclusion the consequent. This implication statement is called the corresponding conditional of the argument. Every argument has a corresponding conditional, and every implication statement has a corresponding argument. Note that because the corresponding conditional of an argument is a statement, it is therefore either a tautology, a contradiction, or a contingency.

An argument is valid if and only if its corresponding conditional is a tautology. There are other tests for validity using truth tables. The chief alternative test searches for a counterexample or invalidating row: a possible universe (substitution instance) in which all the premises are true and the conclusion is false. If there are no counterexamples, the argument is valid; if there is even one, it is invalid.

Two statements are consistent if and only if their conjunction is not a contradiction.


Two statements are logically equivalent if and only if their truth table columns are identical --if and only if the statement of their equivalence using "" is a tautology.

Obviously truth tables are adequate to test validity, tautology, contradiction, contingency, consistency, and equivalence. This is important because truth tables require no ingenuity or insight, just patience and the mechanical application of rules. No matter how dumb we are, truth tables correctly constructed will always give us the right answer.

Can you see why a truth table can be constructed for every truth-functional statement, and only for truth-functional statements?

#6. Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Assalamu’alaikum wr.wb.

Materi keeanam adalah teori tentang konvers, inver, dan kontraposisinya. Sekali lagi, materi ini sudah pernah terdengar, namun ada baiknya jika kita mengulang kembali untuk lebih memperdalam pemahaman kita. Selamat belajar.

Referensi:

1. Chotim, M. 2007. Kalkulus 2 (Handout). Semarang: Unnes (Tidak diterbitkan)

Dari pernyataan yang berupa implikasi p q dapat dibuat pernyataan implikasi baru sbagai brikut:
(a) Pernyataan q p disebut Konvers dari p q
(b) Pernyataan ~p ~q disebut Invers dari p q
(c) Pernyataan ~q ~p disebut Kontraposisi dari p q.

Untuk melihat hubungan nilai kebenaran antara implikasi, konvers, invers dan kontraposisi perhatikanlah tabel kebenaran berikut :

p

q

Implikasi

p q

Konvers

q p

Invers

~p ~q

Kontraposisi

~q ~p

B

B

B

B

B

B

B

S

S

B

B

S

S

B

B

S

S

B

S

S

B

B

B

B

Dari tabel di atas ternyata:
Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya atau ditulis

p q ~q ~p

dengan kata lain jika implikasi bernilai benar maka kontraposi-sinya juga bernilai benar atau jika implikasi bernilai salah maka kontraposisinya juga bernilai salah.

Konvers suatu implikasi ekuivalen dengan inversnya atau ditulis

q p ~p ~q .

Contoh:
Tentukanlah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan:
(1) Jika harga bahan bakar minyak naik maka harga beras naik.
(2) Jika x > 6 maka x² 36

Penyelesaian:

Soal (1)
Konvers : Jika harga beras naik maka harga bahan bakar minyak naik.
Invers : Jika harga bahan bakar minyak tidak naik maka harga beras tidak naik.
Kontraposisi: Jika harga beras tidak naik maka harga bahan bakar minyak tidak naik.

Soal (2)
Tulis
p: jika x² &re; 36
q: x > 6.
Jadi ~p: x² < 36
~q: x 6.
Jadi konvers p q q p “jika x > 6 maka x² &re; 36”,

invers p q ~p ~q ”jika x² <>≤ 6”,

kontraposisi p q ~q ~p “jika x 6 maka x² < 36”.

Soal (3)
Jika (p q) r
Jelas konvers (p q) r r (p q),
invers (p q) r ~(p q)  r (p q)  r,
kontraposisi (p q) r  r ~(p q)  r (~p q).



Tugas 4

(Soal nomor 1)
Tentukan invers, konves dan kontraposisi dari proposisi
berikut ini:

(a) (p q) r
(b) p (q r)
(c) ~p (q ~r)
(d) (p ~q) (q r)
(e) (~q ~r) (~p q)
(f) (q ~r) (p r)

(Soal nomor 2)
Tentukan invers, konvers, dan kontraposisi pernyataan:

(a) Jika hasil produksi melimpah maka harganya turun.
(b) Jika lapangan pekerjaan tidak banyak maka pengangguran meningkat.
(c) Jika ABCD bujur sangkar maka ABCD segi empat.
(d) Jika x > 10 maka x² > 100
(e) Jika x² – 16 = 0 , maka x = 4 atau x = – 4.
(f) Jika sin x = 90° – cos x, maka x merupakan sudut lancip.
(g) Jika tan x = -1, maka x = 135° dan x = 315°

Cari Blog Ini